Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.7. Вращение твёрдого тела

Савченко, задача 2.7.11

Задача 2.7.11цилиндр на бруске

Условие

На гладком горизонтальном столе находится брусок массы \(m_1\). На нём укреплён тонкостенный цилиндр массы \(m_2\) и радиуса \(R\), который может без трения вращаться вокруг своей оси. На цилиндр намотана невесомая тонкая нить, за конец которой тянут с горизонтальной силой \(F\). Найдите ускорение бруска и угловое ускорение цилиндра.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Задача распадается надвое. Поступательное движение: единственная внешняя горизонтальная сила — это \(F\), и она разгоняет всю систему целиком. Вращение: относительно собственной оси цилиндр раскручивает только момент \(FR\) — реакция оси проходит через ось и момента не создаёт.

Стол гладкий, ось цилиндра — тоже: разгоняет всё только сила \(F\).

Ускорение бруска. Стол гладкий, поэтому у системы «брусок + цилиндр» единственная внешняя горизонтальная сила — это \(F\):

\[ F = (m_1+m_2)\,a \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{F}{m_1+m_2}. \]

Цилиндр закреплён на бруске, поэтому и его ось движется с тем же ускорением.

Угловое ускорение. Относительно собственной оси на цилиндр действует только момент нити (сила со стороны оси приложена к самой оси и момента не даёт, трения в оси нет). Момент инерции тонкостенного цилиндра \(J = m_2R^2\):

\[ FR = m_2R^2\,\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = \frac{F}{m_2R}. \]

Проверка. Обратите внимание: \(\varepsilon\) вообще не зависит от массы бруска ✓ — как бы ни двигалась ось, вокруг неё цилиндр раскручивается одинаково (второй закон Ньютона для вращения справедлив относительно оси, проходящей через центр масс, даже если та ускоряется). Проверим энергетику: за время \(t\) нить вытягивается на \(at^2/2 + \varepsilon R t^2/2\), и работа \(F\) как раз равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движения ✓. Размерности: \([F/(m_2R)] = \text{Н}/(\text{кг}\cdot\text{м}) = \text{с}^{-2}\) ✓.

Ответ \( a = \dfrac{F}{m_1+m_2} \), \( \varepsilon = \dfrac{F}{m_2R} \).

Следующая задача 2.7.12 →