Задача 2.7.12цилиндр скатывается
Условие
Найдите ускорение, с которым скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости с углом \(\alpha\) тонкостенный цилиндр. Какова сила трения, действующая на него?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Проще всего — энергетически: при качении без проскальзывания скорость обода
равна скорости центра, поэтому кинетическая энергия ровно вдвое больше обычной
\(mv^2/2\). Значит и «скатывается» цилиндр вдвое медленнее бруска.
Кинетическая энергия. При качении без проскальзывания \(v = \omega R\), и для тонкостенного цилиндра \((J = mR^2)\)
\[ K = \frac{mv^2}{2} + \frac{J\omega^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2. \]Ускорение. Трение при качении без проскальзывания работы не совершает (точка касания мгновенно неподвижна), поэтому вся работа силы тяжести идёт в \(K\). Спустившись вдоль плоскости на \(s\), цилиндр опускается на \(s\sin\alpha\):
\[ mv^2 = mgs\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad v^2 = gs\sin\alpha. \]Сравнивая с \(v^2 = 2as\), получаем
\[ a = \frac{g\sin\alpha}{2}. \]Сила трения. Второй закон Ньютона вдоль плоскости:
\[ mg\sin\alpha - F_{\text{тр}} = ma = \frac{mg\sin\alpha}{2} \quad\Longrightarrow\quad F_{\text{тр}} = \frac{mg\sin\alpha}{2}. \]Проверка. Проверим через моменты: \(F_{\text{тр}}R =
J\varepsilon = mR^2(a/R)\), то есть \(F_{\text{тр}} = ma = mg\sin\alpha/2\) ✓ —
совпало. У бруска без вращения было бы \(a = g\sin\alpha\), у сплошного цилиндра
\(a = \frac23 g\sin\alpha\) ✓ — чем дальше масса от оси, тем медленнее скатывание.
Чтобы качение было возможно, нужен коэффициент трения
\(\mu \ge F_{\text{тр}}/(mg\cos\alpha) = \frac12\operatorname{tg}\alpha\) ✓.
Ответ
\( a = \dfrac{g\sin\alpha}{2} \),
\( F_{\text{тр}} = \dfrac{mg\sin\alpha}{2} \).