Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.7. Вращение твёрдого тела

Савченко, задача 2.7.13

Задача 2.7.13★ два цилиндра на штанге

Условие

Оси тонкостенного и сплошного цилиндров соединены невесомой штангой. Цилиндры скатываются без проскальзывания по наклонной плоскости с углом \(\alpha\). Радиусы цилиндров одинаковы, масса каждого цилиндра \(m\). Определите силу натяжения штанги.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Поодиночке сплошной цилиндр скатывался бы быстрее \((\frac23 g\sin\alpha)\), чем тонкостенный \((\frac12 g\sin\alpha)\). Штанга заставляет их ехать вместе: сплошной тянет тонкостенный вперёд, а тот его придерживает.

Штанга уравнивает ускорения — и потому оказывается натянутой.

Тонкостенный \((J = mR^2)\). Вдоль плоскости и по моментам относительно его оси:

\[ mg\sin\alpha + T - f_1 = ma,\qquad f_1R = mR^2\frac{a}{R} \;\Rightarrow\; f_1 = ma. \]

Отсюда \(\;mg\sin\alpha + T = 2ma\). (1)

Сплошной \((J = mR^2/2)\):

\[ mg\sin\alpha - T - f_2 = ma,\qquad f_2R = \frac{mR^2}{2}\frac{a}{R} \;\Rightarrow\; f_2 = \frac{ma}{2}. \]

Отсюда \(\;mg\sin\alpha - T = \tfrac32 ma\). (2)

Складываем (1) и (2):

\[ 2mg\sin\alpha = \frac72\,ma \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{4}{7}\,g\sin\alpha. \]

Подставляем в (2):

\[ T = mg\sin\alpha - \frac32\cdot\frac47\,mg\sin\alpha = mg\sin\alpha\left(1-\frac67\right) = \frac17\,mg\sin\alpha. \]

Проверка. Общее ускорение \(\frac47 g\sin\alpha \approx 0{,}571\,g\sin\alpha\) лежит между «одиночными» значениями \(0{,}5\) и \(0{,}667\) ✓. Знак \(T>0\) означает, что штанга растянута ✓ — так и должно быть: быстрый тянет медленного. Проверим (1): \(mg\sin\alpha + \frac17 mg\sin\alpha = \frac87 mg\sin\alpha = 2m\cdot\frac47 g\sin\alpha\) ✓. Заметим, что порядок цилиндров (кто впереди) на ответ не влияет ✓ — важна только связь.

Ответ \( T = \dfrac17\,mg\sin\alpha \) (штанга растянута); попутно \( a = \dfrac47\,g\sin\alpha \).

Следующая задача 2.7.14 →