На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплён на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остаётся параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрёл цилиндр, если его ось прошла расстояние \(l\)? Угол наклона плоскости \(\alpha\), коэффициент трения между плоскостью и цилиндром \(\mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Кинематика. Нить нерастяжима, закреплена на стойке и сходит с верхней точки цилиндра — значит скорость этой точки вдоль нити равна нулю:
\[ v + \omega_{\text{«вперёд»}}R = 0 \quad\Longrightarrow\quad |\omega| = \frac{v}{R}, \]причём цилиндр вращается «назад» относительно качения. Тогда скорость точки касания равна
\[ v_{\text{кас}} = v + |\omega| R = 2v. \]Цилиндр скользит по плоскости, и пока ось проходит \(l\), точка касания прочерчивает по плоскости путь \(2l\).
Энергия. Кинетическая энергия цилиндра \((J = mR^2,\ |\omega| = v/R)\):
\[ K = \frac{mv^2}{2} + \frac{mR^2}{2}\cdot\frac{v^2}{R^2} = mv^2. \]Работу совершают тяжесть и трение; натяжение нити работы не совершает — точка её схода неподвижна. Реакция \(N = mg\cos\alpha\) (нить параллельна плоскости и на нормаль не влияет), сила трения \(\mu mg\cos\alpha\), а путь её точки приложения равен \(2l\):
\[ mv^2 = mgl\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha\cdot 2l. \]Ответ.
\[ v = \sqrt{gl\left(\sin\alpha - 2\mu\cos\alpha\right)}. \]