Задача 2.7.15гиря на шнуре с цилиндра
Условие
Сплошной цилиндр массы \(m_1\) насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массы \(m_2\). С каким ускорением станет опускаться гиря, если её отпустить?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
То же, что в задаче 2.7.9, только «второго груза» нет, а блоком служит сам
цилиндр. Его момент инерции \(J = m_1R^2/2\) работает как добавочная масса
\(J/R^2 = m_1/2\).
Пусть \(R\) — радиус цилиндра, \(T\) — натяжение шнура, \(a = \varepsilon R\).
\[ m_2g - T = m_2a,\qquad TR = \frac{m_1R^2}{2}\cdot\frac{a}{R} \;\Rightarrow\; T = \frac{m_1a}{2}. \]Подставляя,
\[ m_2g = m_2a + \frac{m_1a}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{2m_2g}{2m_2+m_1}. \]Проверка. Радиус сократился ✓ — на каком бы цилиндре
ни был намотан шнур, важно лишь отношение \(J/R^2\). При \(m_1 \to 0\) получаем
\(a = g\) ✓ — свободное падение. При \(m_1 \gg m_2\) ускорение мало ✓.
Формула — частный случай общей \(a = g/(1 + J/(m_2R^2))\), которую мы получим в
следующей задаче ✓.
Ответ
\( a = \dfrac{2m_2g}{2m_2+m_1} \).