Твёрдое тело насажено на горизонтальную ось, проходящую через его центр масс.
На ту же ось насажен лёгкий блок радиуса \(r\), жёстко прикреплённый к телу. К
свободному концу нити, намотанной на блок, подвешена гиря массы \(m\). Гирю
отпускают. Через время \(t\) она опускается на расстояние \(h\). Найдите момент
инерции тела.
К задаче 2.7.16 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Это уже не расчёт, а рецепт измерения: по \(h\) и \(t\) находим ускорение,
по ускорению — натяжение, по натяжению — момент, а по моменту — искомое \(J\).
Ускорение. Движение равноускоренное из состояния покоя:
\[ h = \frac{at^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{2h}{t^2}. \]
Проверка. Если тело «невесомое» \((J = 0)\), формула
требует \(a = g\), то есть \(gt^2/(2h) = 1\) ✓ — свободное падение. Чем больше
\(J\), тем медленнее опускается гиря и тем больше \(t\) ✓. Величина в скобках
всегда положительна, ведь \(a < g\) ✓. Проверим на задаче 2.7.15: там
\(J = m_1r^2/2\), и формула даёт \(a = g/(1+m_1/(2m)) = 2mg/(2m+m_1)\) ✓ —
совпало. Это и есть школьный способ измерить момент инерции: секундомер,
линейка и гирька.
Ответ
\( J = mr^2\left(\dfrac{gt^2}{2h} - 1\right) \).