Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.7. Вращение твёрдого тела

Савченко, задача 2.7.17

Задача 2.7.17ступенчатый блок

Условие

На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противоположных направлениях две нити с подвешенными к ним грузами массы \(m_1\) и \(m_2\). Найдите ускорение грузов и силу натяжения нитей. Момент инерции блока \(J\), радиус соответствующих участков блока \(R_1\) и \(R_2\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Всё как в задаче 2.7.9, только плечи у грузов разные: \(a_1 = \varepsilon R_1\), \(a_2 = \varepsilon R_2\). Кто «перетянет», решает не масса, а произведение \(mR\) — момент силы тяжести.

Нити намотаны в разные стороны: один груз опускается, другой поднимается.

Кинематика. Пусть \(\varepsilon\) — угловое ускорение блока в ту сторону, в которую опускается первый груз. Тогда

\[ a_1 = \varepsilon R_1\ \text{(вниз)},\qquad a_2 = \varepsilon R_2\ \text{(вверх)}. \]

Три уравнения.

\[ m_1g - T_1 = m_1\varepsilon R_1,\qquad T_2 - m_2g = m_2\varepsilon R_2,\qquad T_1R_1 - T_2R_2 = J\varepsilon. \]

Исключаем натяжения. Из первых двух \(T_1 = m_1(g-\varepsilon R_1)\), \(T_2 = m_2(g+\varepsilon R_2)\); подставляем в третье:

\[ g\,(m_1R_1 - m_2R_2) = \varepsilon\left(J + m_1R_1^2 + m_2R_2^2\right), \] \[ \varepsilon = \frac{g\,(m_1R_1 - m_2R_2)}{J + m_1R_1^2 + m_2R_2^2}. \]

Отсюда ускорения (знак «минус» у второго означает, что грузы движутся в противоположных направлениях):

\[ a_1 = g\,\frac{(m_1R_1-m_2R_2)R_1}{J+m_1R_1^2+m_2R_2^2},\qquad a_2 = -g\,\frac{(m_1R_1-m_2R_2)R_2}{J+m_1R_1^2+m_2R_2^2}. \]

Натяжения. Подставляя \(\varepsilon\) обратно:

\[ T_1 = m_1g\,\frac{J + m_2R_2(R_2+R_1)}{J+m_1R_1^2+m_2R_2^2},\qquad T_2 = m_2g\,\frac{J + m_1R_1(R_1+R_2)}{J+m_1R_1^2+m_2R_2^2}. \]

Проверка. Система покоится при \(m_1R_1 = m_2R_2\) ✓ — это условие равенства моментов, а вовсе не равенства масс: ступенчатый блок работает как рычаг. Тогда \(T_1 = m_1g\), \(T_2 = m_2g\) ✓. При \(R_1 = R_2 = R\) формулы превращаются в ответ задачи 2.7.9 ✓. Заметим, что \(T_1 < m_1g\) и \(T_2 > m_2g\), когда первый груз опускается ✓ — иначе он бы не ускорялся вниз, а второй — вверх.

Ответ \( a_1 = \dfrac{g(m_1R_1-m_2R_2)R_1}{J+m_1R_1^2+m_2R_2^2} \), \( a_2 = -\dfrac{g(m_1R_1-m_2R_2)R_2}{J+m_1R_1^2+m_2R_2^2} \); \( T_1 = m_1g\dfrac{J+m_2R_2(R_2+R_1)}{J+m_1R_1^2+m_2R_2^2} \), \( T_2 = m_2g\dfrac{J+m_1R_1(R_1+R_2)}{J+m_1R_1^2+m_2R_2^2} \).

Следующая задача 2.7.18 →