Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.7. Вращение твёрдого тела

Савченко, задача 2.7.18

Задача 2.7.18диск на двух нитях

Условие

На валик радиуса \(r\) плотно насажен сплошной диск. Момент инерции этой системы относительно оси \(J\), масса \(m\). На валик симметрично намотаны две нити, на которых система подвешена к неподвижному штативу. Нити вертикальны. Систему отпускают. Найдите ускорение оси диска и силу натяжения нитей.

К задаче 2.7.18 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Это «йо-йо»: нити не проскальзывают, поэтому \(a = \varepsilon r\). Два уравнения — для поступательного движения центра и для вращения вокруг него.

Пусть \(T\) — натяжение каждой нити (их две):

\[ mg - 2T = ma,\qquad 2T\,r = J\varepsilon = \frac{Ja}{r}. \]

Из второго \(2T = Ja/r^2\); подставляем в первое:

\[ mg = ma + \frac{Ja}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{g}{1 + \dfrac{J}{mr^2}}. \]

И тогда

\[ 2T = \frac{Ja}{r^2} = \frac{mgJ}{J+mr^2} \quad\Longrightarrow\quad T = \frac12\cdot\frac{mg}{1 + \dfrac{mr^2}{J}}. \]

Проверка. При \(J\to 0\) получаем \(a = g\), \(T = 0\) ✓ — нити не мешают свободному падению. При \(J\to\infty\) имеем \(a\to0\) и \(2T \to mg\) ✓ — система просто висит. Всегда \(a < g\) и \(2T < mg\) ✓. Для сплошного диска радиуса \(R\), насаженного на тонкий валик \((J\approx mR^2/2)\), получается \(a = g/(1+R^2/(2r^2))\) — при \(R\gg r\) ускорение крошечное ✓, отчего йо-йо и опускается так медленно.

Ответ \( a = \dfrac{g}{1+J/(mr^2)} \), \( T = \dfrac12\,\dfrac{mg}{1+mr^2/J} \).

Следующая задача 2.7.19 →