Однородная тяжёлая верёвка, концы которой закреплены на одной вертикали,
охватывает невесомый обруч. С каким ускорением обруч падает, если его
отпустить?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Обруч невесом — значит падает не он, а намотанный на него кусок верёвки.
Вся масса этого куска лежит на расстоянии \(R\) от оси, то есть это тот же
обруч, только тяжёлый. А прямые участки верёвки закреплены с обоих концов и
неподвижны — они играют роль нити «йо-йо».
Прямые участки верёвки закреплены и стоят на месте; катится по
ним намотанный на обруч виток.
Что именно падает. Обруч невесом. Прямые (вертикальные) участки
верёвки закреплены с обоих концов и остаются неподвижными — их вес держат
закрепления. Двигается только тот кусок верёвки, который намотан на обруч: его
длина \(2\pi R\), масса
\[ \mu = 2\pi R\lambda \]
(\(\lambda\) — линейная плотность верёвки), и вся она находится на расстоянии
\(R\) от оси. Поэтому
\[ J = \mu R^2. \]
Связь. Верёвка нерастяжима, а её прямые участки неподвижны, значит
точка схода витка мгновенно покоится: намотанный виток катится по
неподвижной верёвке, и
\[ a = \varepsilon R. \]
Уравнения. Обозначим \(T\) — натяжение в месте схода:
\[ \mu g - T = \mu a,\qquad
T R = J\varepsilon = \mu R^2\cdot\frac{a}{R} = \mu R a
\;\Rightarrow\; T = \mu a. \]
Складывая,
\[ \mu g = 2\mu a
\quad\Longrightarrow\quad
a = \frac{g}{2}. \]
Проверка. Ни \(R\), ни плотность верёвки в ответ не
вошли ✓ — как и должно быть для «йо-йо»: ускорение равно
\(g/(1+J/(\mu R^2))\), а у обруча \(J/(\mu R^2) = 1\) ✓. Ровно половина энергии
уходит во вращение, половина — в поступательное движение ✓. Проверим
энергетически: \(K = \mu v^2/2 + \mu R^2(v/R)^2/2 = \mu v^2\), а работа тяжести
\(\mu g x\); из \(\mu v^2 = \mu g x\) следует \(v^2 = gx = 2ax\) при
\(a = g/2\) ✓. Наконец, натяжение \(T = \mu g/2\) — половина веса намотанного
витка ✓.