На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток. Катушку тянут за нитку. При каких углах \(\alpha\) между силой и горизонталью катушка станет ускоряться в сторону натянутой нити?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Рассматриваем моменты относительно точки касания \(O\). Это удобно: силы трения и реакции опоры проходят через \(O\) и момента не создают, а сила тяжести вертикальна и проходит через центр, то есть её момент тоже равен нулю (плечо — это горизонтальное расстояние, а оно нулевое). Остаётся только момент силы \(F\).
Плечо силы \(F\). Линия действия нити касается внутреннего цилиндра радиуса \(r\), то есть отстоит от центра \(C\) на \(r\). Расстояние от точки касания \(O\) до этой линии удобно посчитать так: \(O\) отстоит от \(C\) на \(R\) по вертикали, а проекция отрезка \(CO\) на перпендикуляр к линии равна \(R\cos\alpha\). Значит плечо равно
\[ d = R\cos\alpha - r. \]Условие. Катушка поедет в сторону нити, если этот момент «закатывает» её вперёд, то есть если \(d > 0\):
\[ R\cos\alpha > r \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\alpha > \frac{r}{R}. \]