Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.7. Вращение твёрдого тела

Савченко, задача 2.7.21

Задача 2.7.21★ раскрученное кольцо на полу

Условие

Тонкое кольцо радиуса \(R\) и массы \(m\) раскрутили до угловой скорости \(\omega_0\) и поставили вертикально на горизонтальную плоскость. Как будет двигаться кольцо, если коэффициент трения кольца о плоскость равен \(\mu\)? Определите зависимость от времени скорости оси и угловой скорости вращения. Через какое время прекратится проскальзывание? Какая часть начальной энергии перейдёт в тепло?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Пока есть проскальзывание, сила трения постоянна и равна \(\mu mg\): она разгоняет ось вперёд и одновременно тормозит вращение. Скольжение исчезает, когда скорость точки касания обращается в нуль, то есть когда \(v = \omega R\).

Трение разгоняет ось и тормозит вращение — пока скорости не сравняются.

Пока кольцо буксует. Точка касания скользит назад, значит трение направлено вперёд и равно \(\mu m g\):

\[ v(t) = \mu g\,t,\qquad \varepsilon = \frac{\mu mgR}{mR^2} = \frac{\mu g}{R},\qquad \omega(t) = \omega_0 - \frac{\mu g}{R}\,t. \]

Когда прекратится проскальзывание. Условие \(v = \omega R\):

\[ \mu g t = \omega_0R - \mu g t \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{\omega_0R}{2\mu g}. \]

К этому моменту

\[ v_1 = \mu g t_1 = \frac{\omega_0R}{2},\qquad \omega_1 = \frac{\omega_0}{2}. \]

Дальше кольцо катится без проскальзывания равномерно (трение покоя не нужно: ускорять нечего).

Тепло. Начальная энергия — только вращательная:

\[ E_0 = \frac{J\omega_0^2}{2} = \frac{mR^2\omega_0^2}{2}. \]

В конце

\[ E_1 = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mR^2\omega_1^2}{2} = \frac{mR^2\omega_0^2}{8} + \frac{mR^2\omega_0^2}{8} = \frac{mR^2\omega_0^2}{4}. \] \[ \frac{Q}{E_0} = \frac{E_0-E_1}{E_0} = \frac12. \]

Проверка. Ровно половина энергии уходит в тепло, и ответ не зависит ни от \(\mu\), ни от \(g\) ✓ — коэффициент трения влияет только на то, как быстро это произойдёт, но не на итог. Проверим через момент импульса относительно точки касания: он сохраняется (трение проходит через неё), и \(mR^2\omega_0 = mR^2\omega_1 + mv_1R\), то есть \(R\omega_0 = R\omega_1 + v_1\) ✓ — подставив \(v_1 = \omega_1 R\), получаем \(\omega_1 = \omega_0/2\) ✓ без всяких интегрирований. Ответ не зависит и от радиуса ✓.

Ответ \( v = \mu g t \), \( \omega = \omega_0 - \mu g t/R \); \( t_1 = \dfrac{\omega_0R}{2\mu g} \); \( Q/E_0 = 1/2 \).

Следующая задача 2.7.22 →