Задача 2.7.22★ цилиндр толкнули без вращения
Условие
Однородный цилиндр радиуса \(R\) и массы \(m\) толкнули с начальной скоростью \(v_0\) без вращения вдоль горизонтальной плоскости. Через какое время прекратится проскальзывание, если коэффициент трения цилиндра о плоскость равен \(\mu\)? Какая часть начальной энергии перейдёт в тепло?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Зеркальная задача к предыдущей: теперь трение тормозит поступательное движение
и раскручивает цилиндр. Разница лишь в моменте инерции — у сплошного цилиндра он
вдвое меньше, поэтому он раскручивается вдвое охотнее.
Пока есть проскальзывание. Точка касания скользит вперёд, трение направлено назад:
\[ v(t) = v_0 - \mu g t,\qquad \varepsilon = \frac{\mu mgR}{mR^2/2} = \frac{2\mu g}{R},\qquad \omega(t) = \frac{2\mu g}{R}\,t. \]Момент перехода к качению \((v = \omega R)\):
\[ v_0 - \mu g t = 2\mu g t \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{v_0}{3\mu g},\qquad v_1 = \frac{2v_0}{3}. \]Тепло.
\[ E_0 = \frac{mv_0^2}{2},\qquad E_1 = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mR^2}{4}\cdot\frac{v_1^2}{R^2} = \frac34\,mv_1^2 = \frac34\,m\,\frac{4v_0^2}{9} = \frac{mv_0^2}{3}, \] \[ \frac{Q}{E_0} = \frac{mv_0^2/2 - mv_0^2/3}{mv_0^2/2} = \frac13. \]Проверка. И снова ответ не зависит ни от \(\mu\), ни от
\(R\) ✓. Проверим момент импульса относительно линии касания: он сохраняется,
\(mv_0R = mv_1R + \frac{mR^2}{2}\cdot\frac{v_1}{R}\), то есть
\(v_0 = \frac32 v_1\), \(v_1 = \frac23 v_0\) ✓. Сравнение с кольцом (задача
2.7.21): у кольца в тепло уходит \(1/2\), у сплошного цилиндра \(1/3\) ✓ — чем
ближе масса к оси, тем легче раскрутиться и тем меньше потери.
Ответ
\( t_1 = \dfrac{v_0}{3\mu g} \); \( Q/E_0 = 1/3 \).