По шероховатой горизонтальной поверхности катится без проскальзывания со скоростью \(v\) тонкое кольцо. Через какое время после упругого удара о гладкую вертикальную стенку кольцо остановится, если коэффициент трения кольца о поверхность равен \(\mu\)? Опишите качественно движение сплошного диска после удара.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сразу после удара. Скорость центра \(-v\) (от стенки), угловая скорость прежняя, \(\omega = v/R\) (в «прежнюю» сторону). Скорость точки касания
\[ v_{\text{кас}} = -v - \omega R = -2v, \]то есть она скользит от стенки. Трение направлено к стенке и равно \(\mu mg\).
Уравнения.
\[ v_{\text{ц}}(t) = -v + \mu g t,\qquad \omega(t) = \frac{v}{R} - \frac{\mu g}{R}\,t \](трение и разгоняет центр к стенке, и тормозит вращение — момент инерции кольца \(J = mR^2\), поэтому угловое замедление \(\mu g/R\)).
Когда исчезнет проскальзывание \((v_{\text{ц}} = \omega R)\):
\[ -v + \mu g t = v - \mu g t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{v}{\mu g}. \]Подставим это время: \(v_{\text{ц}} = -v + v = 0\) и \(\omega = v/R - v/R = 0\). Кольцо полностью останавливается — ровно в тот момент, когда исчезает проскальзывание.
Сплошной диск. У него \(J = mR^2/2\), поэтому угловое замедление вдвое больше: \(\omega(t) = v/R - 2\mu g t/R\). Условие качения:
\[ -v + \mu g t = v - 2\mu g t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2v}{3\mu g},\qquad v_{\text{ц}} = -\frac{v}{3}. \]Диск не останавливается: он укатывается от стенки со скоростью \(v/3\), уже без проскальзывания.