Задача 2.7.24обруч должен вернуться
Условие
При какой начальной угловой скорости обруч радиуса \(R\) вернётся в исходную точку, двигаясь с постоянным ускорением по горизонтальному полу? Начальная скорость центра обруча \(v\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Обручу придают «обратную подкрутку»: он едет вперёд, но крутится назад. Пока
есть проскальзывание, трение постоянно — значит и ускорение постоянно. Условие
задачи «с постоянным ускорением» означает, что обруч обязан вернуться
раньше, чем начнёт катиться без проскальзывания.
Пока обруч буксует. Точка касания скользит вперёд (её скорость \(v + \omega_0R\)), трение направлено назад:
\[ v_{\text{ц}}(t) = v - \mu g t,\qquad \omega(t) = -\omega_0 + \frac{\mu g}{R}\,t \](за положительное направление \(\omega\) взято «качение вперёд»).
Когда обруч вернётся. Координата центра \(x(t) = vt - \mu g t^2/2\) обращается в нуль при
\[ t_2 = \frac{2v}{\mu g}. \]Когда прекратится проскальзывание \((v_{\text{ц}} = \omega R)\):
\[ v - \mu g t = -\omega_0R + \mu g t \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{v + \omega_0R}{2\mu g}. \]Условие. Нужно \(t_2 \le t_1\):
\[ \frac{2v}{\mu g} \le \frac{v+\omega_0R}{2\mu g} \quad\Longrightarrow\quad 4v \le v + \omega_0R \quad\Longrightarrow\quad \omega_0 \ge \frac{3v}{R}. \]Проверка. Коэффициент трения выпал ✓ — он влияет
только на то, как далеко обруч уедет и как долго будет возвращаться, но не на
само условие. Заметим, что при \(\omega_0 = 3v/R\) обруч возвращается в исходную
точку ровно в момент прекращения проскальзывания; при этом
\(v_{\text{ц}} = v - \mu g\cdot 2v/(\mu g) = -v\) ✓ — он приходит назад с той же
по модулю скоростью, с какой уезжал, и дальше катится равномерно. При меньшей
подкрутке обруч успеет перейти к качению, поедет равномерно вперёд и уже никогда
не вернётся ✓. Это тот самый «фокус с мячом», который знаком по задаче 2.4.18.
Ответ
\( \omega_0 \ge \dfrac{3v}{R} \).