Три одинаковых цилиндра раскрутили до угловой скорости \(\omega\) и привели в соприкосновение так, что левый и правый цилиндры оказались прижаты к центральному с одинаковой силой. Оси цилиндров параллельны и закреплены. Какими станут в конце концов угловые скорости вращения цилиндров?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Как меняются угловые скорости. Направление вращения будем считать положительным одно и то же для всех трёх. В точке соприкосновения двух цилиндров их поверхности движутся в противоположные стороны, и скорость проскальзывания пропорциональна \(\omega_1+\omega_2\).
Ключевое наблюдение: сила трения на первом цилиндре и сила трения на втором противоположны по направлению, но приложены с противоположных сторон от осей — поэтому их моменты одинаковы. Значит оба цилиндра получают одинаковое угловое ускорение. Обозначим его величину \(k\) (на один контакт). Тогда
\[ \omega_1 = \omega - kt,\qquad \omega_3 = \omega - kt,\qquad \omega_2 = \omega - 2kt \]— средний цилиндр тормозится вдвое быстрее: у него два контакта.
Когда проскальзывание исчезнет. Условие \(\omega_1 + \omega_2 = 0\):
\[ (\omega - kt) + (\omega - 2kt) = 0 \quad\Longrightarrow\quad kt = \frac{2\omega}{3}. \]Подставляем:
\[ \omega_1 = \omega_3 = \frac{\omega}{3},\qquad \omega_2 = -\frac{\omega}{3}. \]