Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.7. Вращение твёрдого тела

Савченко, задача 2.7.26

Задача 2.7.26кольцо скатывается со стола

Условие

Центр тонкого кольца находится как раз над краем стола. Кольцо начинает скатываться со стола без проскальзывания из состояния покоя. На какой угол повернётся кольцо до момента отрыва его от края стола? Больше или меньше будет этот угол в случае, если со стола скатывается шар?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Пока кольцо не оторвалось, оно вращается вокруг ребра стола как маятник. Энергия даёт \(\omega(\alpha)\), а условие отрыва — это \(N = 0\): центростремительное ускорение обеспечивается одной только составляющей тяжести вдоль радиуса.

Кольцо поворачивается вокруг ребра стола, пока реакция не обратится в нуль.

Момент инерции относительно ребра. По теореме о параллельных осях для кольца \((J_{\text{ц}} = mR^2)\):

\[ J = mR^2 + mR^2 = 2mR^2. \]

Энергия. Центр опускается на \(R(1-\cos\alpha)\):

\[ \frac{J\omega^2}{2} = mgR(1-\cos\alpha) \quad\Longrightarrow\quad mR^2\omega^2 = mgR(1-\cos\alpha) \quad\Longrightarrow\quad \omega^2 = \frac{g(1-\cos\alpha)}{R}. \]

Условие отрыва. Центр движется по окружности радиуса \(R\) вокруг ребра; вдоль этого радиуса

\[ mg\cos\alpha - N = m\omega^2R. \]

Отрыв при \(N = 0\):

\[ g\cos\alpha = \omega^2R = g(1-\cos\alpha) \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \frac12,\qquad \alpha = 60^\circ. \]

Шар. У него \(J_{\text{ц}} = \frac25 mR^2\), значит \(J = \frac75 mR^2\), и энергия даёт \(\omega^2 = \frac{10g(1-\cos\alpha)}{7R}\). Условие отрыва:

\[ g\cos\alpha = \frac{10}{7}\,g(1-\cos\alpha) \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \frac{10}{17},\qquad \alpha \approx 54^\circ. \]

Это меньше, чем у кольца.

Проверка. Логика ясна: у шара масса ближе к оси, он легче раскручивается, набирает \(\omega\) быстрее — и отрывается раньше ✓. Проверим предельный случай «вся масса в центре» \((J_{\text{ц}} = 0)\): \(\omega^2 = 2g(1-\cos\alpha)/R\), отрыв при \(\cos\alpha = 2/3\), \(\alpha\approx48^\circ\) — ещё меньше ✓, ряд монотонный. Ответы не зависят ни от массы, ни от радиуса ✓. Кстати, до отрыва нужно ещё, чтобы хватало трения: иначе кольцо соскользнёт раньше, чем повернётся на \(60^\circ\).

Ответ \( \alpha = 60^\circ \); для шара \( \alpha = \arccos\frac{10}{17} \approx 54^\circ \) — меньше.

Следующая задача 2.7.27 →