Лёгкий стержень с закреплёнными на концах грузами массы \(m_1\) и \(m_2\)
опирается серединой на жёсткую подставку. В начальный момент стержень
удерживают горизонтально, а затем отпускают. С какой силой он давит на подставку
сразу после того, как его отпустили?
К задаче 2.7.27 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сразу после отпускания стержень начинает поворачиваться вокруг подставки. Найдём
угловое ускорение, потом ускорение каждого груза, а потом запишем второй закон
Ньютона для системы в целом — реакция подставки и найдётся.
Пусть \(l\) — половина длины стержня, \(m_1 > m_2\).
Угловое ускорение. Момент относительно подставки создают обе силы
тяжести, момент инерции \(J = (m_1+m_2)l^2\):
\[ N = g\,\frac{(m_1+m_2)^2 - (m_1-m_2)^2}{m_1+m_2}
= \frac{4m_1m_2\,g}{m_1+m_2}. \]
Проверка. При \(m_1 = m_2 = m\) получаем \(N = 2mg\) ✓
— стержень уравновешен и просто лежит. Если один груз убрать \((m_2 = 0)\), то
\(N = 0\) ✓ — стержень свободно поворачивается вокруг подставки, ничего на неё
не давя. Всегда \(N \le (m_1+m_2)g\) ✓, причём \(4m_1m_2/(m_1+m_2)\) — это
удвоенная приведённая масса \(2\mu\), знакомая по задачам о столкновениях ✓.