Тонкая однородная палочка длины \(l\) и массы \(m\) лежит симметрично на
опорах, расстояние между которыми равно \(a\). Одну из опор быстро убирают.
Какова сразу после этого сила реакции оставшейся опоры?
К задаче 2.7.28 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сразу после того, как опору убрали, палочка начинает поворачиваться вокруг
оставшейся. Схема та же, что в предыдущей задаче: угловое ускорение → ускорение
центра масс → реакция.
Опоры расположены симметрично, значит оставшаяся отстоит от центра на
\(d = a/2\).
Угловое ускорение вокруг опоры. Момент инерции палочки относительно
центра \(ml^2/12\), относительно опоры (теорема о параллельных осях)
\[ J = \frac{ml^2}{12} + md^2. \]
Момент силы тяжести относительно опоры равен \(mgd\), поэтому
Ускорение центра масс \(a_{\text{ц}} = \varepsilon d\), и второй закон
Ньютона:
\[ mg - N = m\varepsilon d = \frac{mgd^2}{\frac{l^2}{12}+d^2}, \]
\[ N = mg\left(1 - \frac{d^2}{\frac{l^2}{12}+d^2}\right)
= mg\,\frac{l^2/12}{\frac{l^2}{12}+d^2}
= \frac{mg\,l^2}{l^2 + 12d^2}. \]
Подставляя \(d = a/2\) \((12d^2 = 3a^2)\):
\[ N = \frac{mg\,l^2}{l^2 + 3a^2}. \]
Проверка. При \(a \to 0\) (обе опоры почти в центре)
получаем \(N \to mg\) ✓ — палочка балансирует на одной опоре в центре и просто
лежит. Если опоры разнести на самые концы \((a = l)\), то
\(N = mg/4\) ✓ — реакция резко падает: чем дальше опора от центра, тем охотнее
палочка «проваливается». Заметим, что \(N\) всегда меньше \(mg/2\), которые были
на этой опоре до того, как убрали вторую, если \(3a^2 > l^2\) — то есть реакция
может как вырасти, так и упасть; граница \(a = l/\sqrt3\) ✓.