Гантель с шариками массы \(m_1\) и \(m_2\), соединёнными невесомым стержнем длины \(l\), вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр гантели, с угловой скоростью \(\omega\). Определите угол, который образует ось гантели с осью вращения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Пусть \(m_1 > m_2\), тяжёлый шарик внизу; \(\alpha\) — угол между осью вращения (вверх) и направлением на лёгкий шарик; \(r = l/2\) — расстояние от центра до каждого шарика.
Моменты относительно центра. Сила тяжести создаёт момент
\[ M_g = (m_1 - m_2)\,g\,r\sin\alpha, \]который уменьшает \(\alpha\) (ставит гантель вертикально). Центробежные силы \(m_i\omega^2 r\sin\alpha\) приложены к шарикам горизонтально, их плечо \(r\cos\alpha\), и они дают момент
\[ M_{\text{ц}} = (m_1+m_2)\,\omega^2 r^2\sin\alpha\cos\alpha, \]который \(\alpha\) увеличивает.
Равновесие. Приравниваем и сокращаем на \(r\sin\alpha\):
\[ (m_1-m_2)\,g = (m_1+m_2)\,\omega^2 r\cos\alpha, \] \[ \cos\alpha = \frac{(m_1-m_2)g}{(m_1+m_2)\,\omega^2 r} = \frac{2g\,(m_1-m_2)}{\omega^2 l\,(m_1+m_2)}. \]Это имеет смысл, только если правая часть не больше единицы. Если
\[ \frac{2g(m_1-m_2)}{\omega^2 l(m_1+m_2)} \ge 1, \]наклонного положения не существует: гантель просто висит вертикально, \(\alpha = 0\) (или \(\pi\), если тяжелее второй шарик).