Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.7. Вращение твёрдого тела

Савченко, задача 2.7.30

Задача 2.7.30два диска сцепились

Условие

Два диска с моментами инерции \(J_1\) и \(J_2\) вращаются с угловой скоростью соответственно \(\omega_1\) и \(\omega_2\) вокруг одной и той же оси без трения. Диски пришли в соприкосновение друг с другом. Из-за возникшего между дисками трения через некоторое время проскальзывание одного диска по другому прекращается. Какова станет тогда угловая скорость вращения дисков? Какое количество теплоты выделится?

К задаче 2.7.30 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Это в точности абсолютно неупругий удар, только «вращательный»: вместо масс — моменты инерции, вместо скоростей — угловые скорости, вместо импульса — момент импульса.

Сохранение момента импульса. Внешних моментов относительно оси нет (трение между дисками — внутренняя сила):

\[ J_1\omega_1 + J_2\omega_2 = (J_1+J_2)\,\omega \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{J_1\omega_1 + J_2\omega_2}{J_1+J_2}. \]

Тепло.

\[ Q = \frac{J_1\omega_1^2}{2} + \frac{J_2\omega_2^2}{2} - \frac{(J_1+J_2)\omega^2}{2}. \]

Подставляя \(\omega\) и приводя к общему знаменателю (выкладка та же, что в задаче 2.5.4), получаем

\[ Q = \frac{J_1J_2\,(\omega_2-\omega_1)^2}{2\,(J_1+J_2)}. \]

Проверка. Полная аналогия со слипанием тел: \(Q = \mu\,\Delta v^2/2\) с приведённой массой \(\mu\) — здесь роль \(\mu\) играет \(J_1J_2/(J_1+J_2)\) ✓. При \(\omega_1 = \omega_2\) тепла нет ✓ — проскальзывания не было. Если один диск огромный \((J_2\to\infty)\), то \(\omega\to\omega_2\) и \(Q \to J_1(\omega_2-\omega_1)^2/2\) ✓ — вся энергия относительного движения первого диска уходит в тепло. \(Q\) всегда положительно ✓.

Ответ \( \omega = \dfrac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2} \), \( Q = \dfrac{J_1J_2(\omega_2-\omega_1)^2}{2(J_1+J_2)} \).

Следующая задача 2.7.31 →