Задача 2.7.31★ обруч ударился и перестал крутиться
Условие
Вращающийся обруч радиуса \(R\) падает вертикально на горизонтальную плоскость и отскакивает от неё со скоростью \(v\) под углом \(30^\circ\), уже не вращаясь. Какова угловая скорость обруча до удара?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Горизонтальную скорость обручу дало трение о плоскость — и оно же остановило
вращение. Значит один и тот же импульс трения фигурирует в двух уравнениях: для
импульса и для момента импульса.
Импульс трения. Обозначим его \(S\) (горизонтальный). Он остановил вращение:
\[ S\,R = J\omega = mR^2\omega \quad\Longrightarrow\quad S = mR\omega. \]Он же сообщил обручу горизонтальную скорость \(v_x\):
\[ m v_x = S = mR\omega \quad\Longrightarrow\quad v_x = R\omega. \]Геометрия отскока. Обруч падал вертикально, значит горизонтальная скорость появилась только из-за трения, и угол \(30^\circ\) отсчитывается от вертикали:
\[ v_x = v\sin30^\circ = \frac{v}{2}. \]Ответ.
\[ R\omega = \frac{v}{2} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{v}{2R}. \]Проверка. Проверим согласованность: точка касания до
удара имела горизонтальную скорость \(\omega R = v/2\), после удара —
\(v_x - \omega' R = v/2 - 0 = v/2\)… но вращения уже нет, значит проскальзывание
к концу удара как раз прекратилось бы при \(v_x = \omega' R\); поскольку
\(\omega' = 0\), удар закончился ровно в тот момент, когда исчезли и вращение, и
относительное скольжение ✓ — условие задачи внутренне непротиворечиво.
Размерность: \([v/R] = \text{с}^{-1}\) ✓. Чем быстрее вращение, тем более полого
отскакивает обруч ✓ — знакомый эффект «крученого» мяча.
Ответ
\( \omega = \dfrac{v}{2R} \).