По гладкой горизонтальной плоскости навстречу друг другу движутся два одинаковых тонких вращающихся кольца. Их скорости \(v_1\) и \(v_2\) направлены по прямой, соединяющей центры колец. Угловые скорости колец \(\omega_1\) и \(\omega_2\). Определите угловую скорость колец после соударения, если проскальзывание их относительно друг друга исчезает в последний момент удара.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Пусть \(m\) и \(R\) — масса и радиус каждого кольца \((J = mR^2)\), \(P\) — касательный импульс трения, действующий на первое кольцо (на второе — такой же, но противоположный). Введём \(q = P/(mR)\).
Что даёт этот импульс. Поперечные (перпендикулярные линии центров) скорости:
\[ u_1 = \frac{P}{m} = qR,\qquad u_2 = -\frac{P}{m} = -qR. \]Угловые скорости. Здесь важная тонкость: силы противоположны, но приложены с разных сторон от центров, поэтому моменты одинаковы, и оба кольца получают одинаковую добавку:
\[ \omega_1' = \omega_1 + q,\qquad \omega_2' = \omega_2 + q. \]Условие исчезновения проскальзывания. Скорость точки контакта у первого кольца равна \(u_1 + \omega_1'R\), у второго \(u_2 - \omega_2'R\); они должны сравняться:
\[ qR + (\omega_1+q)R = -qR - (\omega_2+q)R, \] \[ 4q = -(\omega_1+\omega_2) \quad\Longrightarrow\quad q = -\frac{\omega_1+\omega_2}{4}. \]Ответ.
\[ \omega_1' = \omega_1 - \frac{\omega_1+\omega_2}{4} = \frac{3\omega_1-\omega_2}{4}, \qquad \omega_2' = \frac{3\omega_2-\omega_1}{4}. \]