В цилиндр массы \(m_1\) и радиуса \(R\), покоящийся на гладкой горизонтальной
плоскости, попадает пуля массы \(m_2\), летящая горизонтально на высоте \(h\) от
оси цилиндра со скоростью \(v\). Считая удар абсолютно неупругим и
\(m_2 \ll m_1\), найдите скорость оси и угловую скорость цилиндра.
К задаче 2.7.33 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Плоскость гладкая, значит внешних горизонтальных сил нет: сохраняются и импульс,
и момент импульса относительно оси цилиндра. Два закона сохранения — два
ответа.
Импульс.
\[ m_2v = (m_1+m_2)\,u \approx m_1 u
\quad\Longrightarrow\quad
u \approx \frac{m_2v}{m_1}. \]
Момент импульса относительно оси цилиндра. У пули «плечо» равно
\(h\):
Проверка. При \(h = 0\) (пуля попадает точно в ось)
вращения не возникает ✓ — цилиндр просто едет. При \(h = R\) (пуля задевает по
касательной) \(\omega = 2m_2v/(m_1R)\), и скорость точки обода
\(\omega R = 2u\) ✓ — вдвое больше скорости оси; тот же множитель 2 мы видели у
сплошного цилиндра в задаче 2.7.22. Условие \(m_2 \ll m_1\) позволило не
учитывать вклад застрявшей пули ни в массу, ни в момент инерции ✓.
Ответ
\( u \approx \dfrac{m_2v}{m_1} \),
\( \omega = \dfrac{2m_2vh}{m_1R^2} \).