На покоящемся однородном горизонтальном диске массы \(m_1\) и радиуса \(R\) стоит человек массы \(m_2\). Диск может без трения вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. С какой угловой скоростью начнёт вращаться диск, если человек пойдёт по окружности радиуса \(r\) вокруг оси диска со скоростью \(v\) относительно него? Радиус диска много больше роста человека.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорости в неподвижной системе. Пусть диск вращается с угловой скоростью \(\omega\) (в сторону, противоположную ходьбе). Человек относительно диска имеет угловую скорость \(v/r\), значит в неподвижной системе его угловая скорость равна \(v/r - \omega\).
Момент импульса равен нулю. Момент инерции диска \(J_1 = m_1R^2/2\), человека — \(m_2r^2\):
\[ \underbrace{m_2r^2\left(\frac{v}{r}-\omega\right)}_{\text{человек}} \;-\;\underbrace{\frac{m_1R^2}{2}\,\omega}_{\text{диск}} = 0. \]Раскрываем и собираем \(\omega\):
\[ m_2rv = \omega\left(m_2r^2 + \frac{m_1R^2}{2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{2m_2vr}{m_1R^2 + 2m_2r^2}. \]