Задача 2.7.35человек идёт к центру
Условие
На краю свободно вращающегося с угловой скоростью \(\omega\) вокруг вертикальной оси диска, имеющего радиус \(R\) и момент инерции \(J\), стоит человек массы \(m\). Как изменится угловая скорость вращения диска, если человек перейдёт от края диска к центру? Как изменится кинетическая энергия системы при этом?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Момент импульса сохраняется, а момент инерции уменьшается — значит вращение
ускоряется. Энергия при этом растёт: её добавляет сам человек, преодолевая
центробежную силу по дороге к центру. Это классический «пируэт фигуриста».
Сохранение момента импульса. Вначале человек на краю \((J_{\text{чел}} = mR^2)\), в конце — в центре \((J_{\text{чел}} = 0)\):
\[ \left(J + mR^2\right)\omega = J\,\omega' \quad\Longrightarrow\quad \omega' = \omega\left(1 + \frac{mR^2}{J}\right), \] \[ \Delta\omega = \omega' - \omega = \frac{\omega\,mR^2}{J}. \]Энергия.
\[ K = \frac{(J+mR^2)\omega^2}{2},\qquad K' = \frac{J\omega'^2}{2} = \frac{J}{2}\,\omega^2\frac{(J+mR^2)^2}{J^2} = \frac{(J+mR^2)^2\omega^2}{2J}, \] \[ \frac{K'}{K} = \frac{J+mR^2}{J} = 1 + \frac{mR^2}{J}. \]То есть энергия возрастает во столько же раз, во сколько возрастает угловая скорость.
Проверка. Момент импульса \(L\) постоянен, а
\(K = L^2/(2J_{\text{полн}})\) ✓ — уменьшая \(J\), мы увеличиваем \(K\) обратно
пропорционально. Откуда энергия? Её совершает человек: идя к центру, он движется
против центробежной силы, и его работа как раз равна \(\Delta K\) ✓. Проверим
предельный случай: если человек лёгкий \((mR^2 \ll J)\), почти ничего не
меняется ✓.
Ответ
\( \Delta\omega = \dfrac{\omega\,mR^2}{J} \); кинетическая энергия
возрастает в \( \left(1 + \dfrac{mR^2}{J}\right) \) раз.