В установке, находящейся на полюсе Земли, небольшие, но тяжёлые грузы
удерживаются с помощью нити на расстоянии \(R\) от вертикальной оси. Нить
пережигают. Грузы опускаются и оказываются на расстоянии \(r = 0{,}1R\) от оси.
Сколько оборотов за час совершает после этого установка, если вначале она
относительно Земли не вращалась? Трением пренебречь.
К задаче 2.7.36 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
«Относительно Земли не вращалась» — значит в неподвижной (звёздной)
системе установка вращалась вместе с Землёй, раз в сутки. Именно этот момент
импульса и сохраняется, пока грузы съезжаются к оси.
Что сохраняется. Оси нет трения, внешних моментов относительно
вертикальной оси нет, значит
\[ mR^2\,\Omega = m r^2\,\Omega',\qquad
\Omega = \frac{2\pi}{\text{сутки}} \]
Относительно Земли. Наблюдатель на Земле видит вращение с угловой
скоростью
\[ \Omega' - \Omega = 99\,\Omega, \]
то есть 99 оборотов в сутки. В часах:
\[ n = \frac{99}{24} = \frac{33}{8} = 4{,}125\ \text{оборота в час}. \]
Проверка. Ответ целиком держится на том, что «покой
относительно Земли» — это не покой в инерциальной системе ✓. Именно так работает
гироскопический опыт Фуко: если бы Земля не вращалась, установка после
пережигания нити осталась бы неподвижной, а она делает четыре оборота в час.
Проверим числа: \(100\cdot(1/24)\ \text{об/ч} = 4{,}17\), минус собственный
\(1/24 = 0{,}042\), итого \(4{,}125\) ✓. На широте \(\varphi\) вместо \(\Omega\)
стояло бы \(\Omega\sin\varphi\), и на экваторе эффект пропал бы совсем ✓.
Ответ
\( n = \dfrac{33}{8} \approx 4{,}1 \) оборота в час.