Задача 2.7.38★ сколько льда растаяло
Условие
За последние 40 лет сутки возросли примерно на \(10^{-3}\) с. Некоторые геофизики считают основной причиной этого таянье полярной ледяной шапки в Антарктиде. Оцените, какая масса льда в Антарктиде растаяла, если это предположение верно, за 40 лет.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Лёд на полюсе лежит практически на оси вращения и в момент инерции почти не
участвует. Растаяв, он растекается по всему океану и «отъезжает» от оси —
момент инерции Земли растёт, а раз момент импульса сохраняется, вращение
замедляется.
Связь замедления с моментом инерции. Из \(J\Omega = \text{const}\) и \(\Omega = 2\pi/T\) следует \(J/T = \text{const}\), то есть
\[ \frac{\Delta J}{J} = \frac{\Delta T}{T} = \frac{10^{-3}}{86\,400} \approx 1{,}2\cdot10^{-8}. \]Момент инерции Земли. В грубой оценке (однородный шар)
\[ J \approx \frac25 M R^2 = 0{,}4\cdot 6\cdot10^{24}\cdot(6{,}4\cdot10^{6})^2 \approx 1\cdot10^{38}\ \text{кг}\cdot\text{м}^2, \] \[ \Delta J \approx 1{,}2\cdot10^{-8}\cdot 10^{38} = 1{,}2\cdot10^{30}\ \text{кг}\cdot\text{м}^2. \]Что даёт растаявшая вода. Она распределяется по поверхности Земли — это тонкий сферический слой, для него \(J = \frac23 mR^2\). Лёд же на полюсе давал практически ноль, поэтому
\[ \Delta J \approx \frac23\,m R^2 \quad\Longrightarrow\quad m \approx \frac{3\Delta J}{2R^2} = \frac{3\cdot1{,}2\cdot10^{30}}{2\cdot 4{,}1\cdot10^{13}} \approx 4\cdot10^{16}\ \text{кг}. \]Проверка. Это около \(4\cdot10^{13}\) тонн, то есть
объём льда порядка \(4\cdot10^{4}\) км³ — при площади Антарктиды
\(1{,}4\cdot10^{7}\) км² это слой толщиной около 3 м ✓, вполне правдоподобно за
40 лет. Полная масса антарктического ледника \(\sim2{,}4\cdot10^{19}\) кг, так
что растаяло около \(0{,}2\,\%\) ✓. Если взять реальный момент инерции Земли
\(J = 0{,}33MR^2\) (у неё плотное ядро), оценка уменьшится примерно до
\(3\cdot10^{16}\) кг — тот же порядок ✓, а для оценки этого и достаточно. Стоит
добавить, что на деле в замедление суток вносят вклад и приливное трение
(задача 2.7.39), и перераспределение вещества в мантии, так что «основная
причина» здесь — гипотеза, а не факт.
Ответ
\( m \approx 4\cdot10^{16} \) кг (порядка \(10^{16}\)–\(10^{17}\) кг).