Однородная спица длины \(l\), стоящая на гладкой горизонтальной поверхности,
начинает падать из вертикального положения. Определите скорость верхнего конца
спицы перед ударом его о поверхность.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Поверхность гладкая — горизонтальных сил нет, значит центр масс падает строго
по вертикали. Это сразу связывает скорость центра с угловой скоростью, и
остаётся один закон сохранения энергии.
Опора гладкая, поэтому центр масс движется строго вниз.
Кинематика. Пусть \(\theta\) — угол спицы с вертикалью. Нижний конец
остаётся на поверхности, центр масс — на высоте \(\frac l2\cos\theta\), и его
скорость направлена вниз:
\[ v_{\text{ц}} = \frac l2\,\omega\sin\theta. \]
В момент падения \((\theta = 90^\circ)\) получаем \(v_{\text{ц}} = \omega l/2\).
Скорость верхнего конца. Он отстоит от центра масс на \(l/2\), и в
последний момент вращение добавляет к скорости центра ещё \(\omega l/2\) вниз:
\[ v = v_{\text{ц}} + \frac{\omega l}{2} = \omega l = \sqrt{3gl}. \]
Проверка. Сравним со свободным падением с высоты
\(l\): там было бы \(\sqrt{2gl}\) — меньше ✓. И это правильно: часть энергии,
конечно, ушла во вращение, зато верхний конец «складывается» из двух движений и
в итоге разгоняется сильнее. Если бы поверхность была шершавой и нижний конец не
скользил, спица падала бы вокруг него, и было бы \(\omega^2 = 3g/l\) (тот же
результат!), но верхний конец имел бы \(v = \omega l = \sqrt{3gl}\) ✓ — ответ
совпадает, что приятно. Размерность ✓.