Тонкий стержень массы \(m\) и длины \(l\) лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Пластилиновый шарик массы \(m\) со скоростью \(v\), перпендикулярной стержню, ударяется об один из его концов и прилипает к нему. Какое количество теплоты выделится при таком ударе?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость центра масс. Полный импульс сохраняется, суммарная масса \(2m\):
\[ mv = 2m\,V \quad\Longrightarrow\quad V = \frac v2. \]Где центр масс системы. Стержень (масса \(m\), центр в середине) и шарик (масса \(m\), на конце, то есть в \(l/2\) от середины). Общий центр масс — посередине между ними, то есть в \(l/4\) от середины стержня в сторону шарика.
Момент импульса относительно этой точки. До удара его даёт только шарик; его плечо \(l/2 - l/4 = l/4\):
\[ L = m v\,\frac l4. \]После удара система вращается вокруг своего центра масс с моментом инерции
\[ J = \underbrace{\frac{ml^2}{12} + m\left(\frac l4\right)^{\!2}}_{\text{стержень}} + \underbrace{m\left(\frac l4\right)^{\!2}}_{\text{шарик}} = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{8} = \frac{5ml^2}{24}. \]Отсюда
\[ \omega = \frac{L}{J} = \frac{mvl/4}{5ml^2/24} = \frac{6v}{5l}. \]Энергия.
\[ K' = \frac{2mV^2}{2} + \frac{J\omega^2}{2} = \frac{mv^2}{4} + \frac{5ml^2}{48}\cdot\frac{36v^2}{25l^2} = \frac{mv^2}{4} + \frac{3mv^2}{20} = \frac{2mv^2}{5}, \] \[ Q = \frac{mv^2}{2} - \frac{2mv^2}{5} = \frac{mv^2}{10}. \]