Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.7. Вращение твёрдого тела

Савченко, задача 2.7.42

Задача 2.7.42пластилин в середину стержня

Условие

Стержень массы \(m_1\) и длины \(l\) подвешен на шарнире. Небольшой кусок пластилина массы \(m_2\) прилипает к середине стержня, двигаясь до соударения с ним горизонтально со скоростью \(v\). Найдите максимальный угол отклонения стержня от вертикали. Трением в шарнире пренебречь.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Два этапа. Удар: импульс в шарнире не сохраняется, зато сохраняется момент импульса относительно шарнира. Подъём: работает сохранение энергии. Приятная деталь — центр масс стержня и прилипший пластилин находятся на одном расстоянии \(l/2\) от шарнира, поэтому поднимаются на одну и ту же высоту.

Пластилин бьёт в середину — на расстоянии \(l/2\) от шарнира.

Удар. Момент импульса относительно шарнира сохраняется. До удара его даёт только пластилин, плечо \(l/2\):

\[ L = m_2v\,\frac l2. \]

После удара система вращается вокруг шарнира с моментом инерции

\[ J = \underbrace{\frac{m_1l^2}{3}}_{\text{стержень}} + \underbrace{m_2\left(\frac l2\right)^{\!2}}_{\text{пластилин}} = \frac{l^2\,(4m_1+3m_2)}{12}, \] \[ \omega = \frac{L}{J} = \frac{m_2vl/2}{l^2(4m_1+3m_2)/12} = \frac{6m_2v}{l\,(4m_1+3m_2)}. \]

Подъём. Кинетическая энергия сразу после удара

\[ K = \frac{J\omega^2}{2} = \frac{l^2(4m_1+3m_2)}{24}\cdot\frac{36m_2^2v^2}{l^2(4m_1+3m_2)^2} = \frac{3m_2^2v^2}{2\,(4m_1+3m_2)}. \]

И стержень (его центр масс), и пластилин находятся в \(l/2\) от шарнира, поэтому оба поднимаются на \(\frac l2(1-\cos\alpha)\):

\[ K = (m_1+m_2)\,g\,\frac l2\,(1-\cos\alpha). \]

Ответ.

\[ 1-\cos\alpha = \frac{3m_2^2v^2}{gl\,(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)},\qquad \cos\alpha = 1 - \frac{3m_2^2v^2}{gl\,(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)}. \]

Проверка. При \(m_2\to0\) получаем \(\alpha\to0\) ✓ — лёгкая пылинка стержень не качнёт. При очень большой \(v\) правая часть может стать меньше \(-1\); это значит, что стержень проворачивается через верх и «максимального угла» уже нет ✓. Заметим, что в тепло на ударе уходит немало: начальная энергия \(m_2v^2/2\), а осталось \(3m_2^2v^2/(2(4m_1+3m_2))\) — при \(m_1\gg m_2\) это доля порядка \(3m_2/(4m_1) \ll 1\) ✓, почти всё превращается в тепло, как и положено при прилипании к массивному телу.

Ответ \( \cos\alpha = 1 - \dfrac{3m_2^2v^2}{gl\,(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)} \).

Следующая задача 2.7.43 →