Момент инерции твёрдого тела массы \(m\) относительно оси \(O\) равен \(J\). Центр масс тела находится на расстоянии \(R\) от этой оси. Найдите силу, действующую на ось при кратковременном приложении к твёрдому телу силы \(F\), перпендикулярной отрезку длины \(x\), который соединяет точку приложения силы и ось. При каком \(x\) сила, действующая на ось, наименьшая?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угловое ускорение. Момент силы относительно оси равен \(Fx\), значит
\[ \varepsilon = \frac{Fx}{J}. \]Ускорение центра масс. Он движется по окружности радиуса \(R\); сразу после приложения силы скорость ещё нулевая, поэтому есть только тангенциальная составляющая:
\[ a_{\text{ц}} = \varepsilon R = \frac{FxR}{J}. \]Второй закон Ньютона. На тело действуют \(F\) и реакция оси \(N\) (обе перпендикулярны отрезку \(x\)):
\[ F + N = m a_{\text{ц}} = \frac{mFxR}{J} \quad\Longrightarrow\quad N = F\left(\frac{mRx}{J} - 1\right). \]По третьему закону Ньютона на ось действует такая же по модулю сила
\[ F' = F\left(\frac{mRx}{J} - 1\right). \]Когда она наименьшая. Модуль обращается в нуль при
\[ x = \frac{J}{mR}. \]