Две одинаковые гантели летят навстречу друг другу со скоростью \(v_1\) и \(v_2\) так, как изображено на рисунке: стержни вертикальны, а сталкиваются верхний шарик первой гантели и нижний шарик второй. Расстояние между шариками гантели \(l\). Как будут двигаться гантели после упругого соударения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Эффективная масса. Пусть масса шарика \(m\), тогда масса гантели \(2m\), а её момент инерции относительно центра \(J = 2m(l/2)^2 = ml^2/2\). Импульс \(P\), приложенный к шарику перпендикулярно стержню, меняет скорость этого шарика на
\[ \Delta v = \underbrace{\frac{P}{2m}}_{\text{поступательно}} + \underbrace{\frac{P\,(l/2)}{J}\cdot\frac l2}_{\text{за счёт вращения}} = \frac{P}{2m} + \frac{P}{2m} = \frac{P}{m}. \]То есть ударяемый шарик отзывается так, как отозвался бы свободный шарик массы \(m\).
Сам удар. Значит это упругое столкновение двух одинаковых масс — они просто обмениваются скоростями:
\[ \text{верхний шарик левой гантели: } v_1 \to -v_2,\qquad \text{нижний шарик правой: } -v_2 \to v_1. \]Вторые шарики сохранили свои скорости \(v_1\) и \(-v_2\). Отсюда для каждой гантели
\[ V_{\text{ц}} = \frac{v_1 - v_2}{2}\ \text{(у обеих одинаково)},\qquad \omega = \frac{v_1+v_2}{l}. \]Обе гантели вращаются в одну сторону — так, что ударенные шарики уходят назад, а нетронутые продолжают лететь как летели.
Что дальше. Центры гантелей движутся одинаково, значит друг относительно друга они не смещаются — гантели просто крутятся. Второй удар произойдёт, когда встретятся другие два шарика, а для этого гантели должны развернуться на \(180^\circ\):
\[ t = \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi l}{v_1+v_2}. \]В этот момент картинка в точности зеркальна первой, скорость сближения снова \(v_1+v_2\), и второй удар «отыгрывает» первый: вращение прекращается, и гантели разлетаются с теми же скоростями \(v_1\) и \(v_2\), с какими летели вначале.
Расхождение с задачником. В ответах указано время \(\pi l/[2(v_1+v_2)]\), то есть поворот на \(90^\circ\). Но при повороте на \(90^\circ\) вторые шарики оказываются на расстоянии \(l\sqrt2\) друг от друга и встретиться не могут: центры гантелей неподвижны друг относительно друга, а совпадение вторых шариков требует, чтобы стержни развернулись ровно на \(180^\circ\). Поэтому правильное время — \(\pi l/(v_1+v_2)\).