На какую высоту можно подбросить мешок с песком с помощью доски массы \(m_1\)
и длины \(l\), если на другой конец этой доски с высоты \(H\) падает такой же
мешок с песком? Масса мешка с песком равна \(m_2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Доска лежит на опоре посередине — это рычаг. Удар мгновенный, поэтому в нём
сохраняется момент импульса относительно опоры. Песок неупругий: падающий мешок
остаётся на доске, а второй улетает со скоростью своего конца.
Мешок падает с высоты \(H\) на конец доски-рычага.
Скорость падающего мешка.
\[ u = \sqrt{2gH}. \]
Удар. Момент импульса относительно опоры сохраняется. До удара его
даёт только падающий мешок, плечо \(l/2\):
\[ L = m_2u\,\frac l2. \]
Сразу после удара всё вращается вокруг опоры как одно целое с моментом
инерции
Скорость взлетающего мешка — это скорость его конца доски:
\[ V = \omega\,\frac l2 = \frac{3m_2u}{m_1+6m_2}. \]
Высота.
\[ h = \frac{V^2}{2g} = \frac{9m_2^2u^2}{2g\,(m_1+6m_2)^2}
= H\left(\frac{3m_2}{m_1+6m_2}\right)^{\!2}. \]
Проверка. Если доска невесома \((m_1 = 0)\), то
\(h = H(3m_2/6m_2)^2 = H/4\) ✓ — даже в идеальном случае мешок взлетает лишь на
четверть высоты падения: половина энергии теряется на неупругом ударе, и ещё
половина остаётся у падающего мешка, который тоже движется. Чем тяжелее доска,
тем меньше \(h\) ✓. Максимум по \(m_2\) при фиксированной \(m_1\) достигается
при \(m_2 \to \infty\) и равен \(H/4\) ✓ — выше четверти не прыгнуть, так что
цирковой номер требует упругой доски, а не жёсткой.
Ответ
\( h = H\left(\dfrac{3m_2}{m_1+6m_2}\right)^{2} \).