Найдите, пренебрегая трением, полезную мощность турбины, устроенной по принципу сегнерова колеса. Данные возьмите из предыдущей задачи. Как зависит угловая скорость вращения турбины от момента сил нагрузки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Мощность. Момент, который турбина отдаёт нагрузке, равен \(M = \mu(u-\omega R)R\), поэтому
\[ N = M\omega = \mu\,(u-\omega R)\,R\,\omega. \]Зависимость \(\omega\) от нагрузки. Из того же равенства
\[ \omega = \frac{u}{R} - \frac{M}{\mu R^2}. \]Чем больше момент нагрузки, тем медленнее вращается турбина; при \(M = \mu u R\) она останавливается совсем.
Когда мощность наибольшая. \(N(\omega) = \mu R\,(u\omega - R\omega^2)\) — парабола с максимумом посередине между нулями \(\omega = 0\) и \(\omega = u/R\):
\[ \omega_{\text{опт}} = \frac{u}{2R},\qquad N_{\max} = \mu R\left(u\cdot\frac{u}{2R} - R\,\frac{u^2}{4R^2}\right) = \frac{\mu u^2}{4}. \]и это в точности мощность, которую подводит напор: при уровне \(h\) в сосуде
скорость истечения относительно насадки равна
\(u = \sqrt{2gh + \omega^2R^2}\) (к обычному напору добавляется центробежный), то
есть \(\mu(u^2-\omega^2R^2)/2 = \mu g h\) ✓ — всё сходится.
КПД \(= \dfrac{M\omega}{\mu gh} = \dfrac{2R\omega}{u+\omega R}\) растёт с
\(\omega\) и стремится к единице при \(\omega\to u/R\) ✓ — но полезная мощность
при этом падает до нуля, поэтому на практике работают вблизи
\(\omega = u/(2R)\).