Гладкий тонкий обруч массы \(m\) висит у стенки на одном гвозде \((A)\) и опирается на другой \((B)\). Радиус, проведённый к гвоздю \(A\) из центра обруча, образует угол \(\alpha\) с вертикалью. Радиус же, проведённый к гвоздю \(B\), образует угол \(\beta\) с вертикалью. Найдите, с какой силой действует обруч на каждый гвоздь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Направления сил. Гвоздь \(A\) находится внутри обруча — обруч на нём висит, и гвоздь толкает обруч наружу, то есть вдоль радиуса \(OA\) от центра. Гвоздь \(B\) подпирает обруч снаружи и толкает его к центру, вдоль радиуса \(OB\).
Проекции. Оба радиуса отклонены от вертикали в одну сторону, на углы \(\alpha\) и \(\beta\):
\[ \text{горизонталь: } F_A\sin\alpha = F_B\sin\beta, \] \[ \text{вертикаль: } F_A\cos\alpha - F_B\cos\beta = mg. \]Решаем. Из первого \(F_A = F_B\sin\beta/\sin\alpha\); подставляем во второе:
\[ F_B\,\frac{\sin\beta\cos\alpha - \cos\beta\sin\alpha}{\sin\alpha} = mg \quad\Longrightarrow\quad F_B\,\frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin\alpha} = mg, \] \[ F_B = \frac{mg\sin\alpha}{\sin(\beta-\alpha)},\qquad F_A = \frac{mg\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)}. \]По третьему закону Ньютона с такими же силами обруч действует на гвозди.