Цепочка массы \(m\) подвешена за концы так, что вблизи точек подвеса она
образует с горизонталью угол \(\alpha\). Определите силу натяжения цепочки в её
нижней точке и в точках подвеса.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Рассмотрим половину цепочки как одно тело. На неё действуют три силы: вес
\(mg/2\), горизонтальное натяжение в нижней точке и натяжение вдоль цепочки в
точке подвеса. Форма цепочки при этом совершенно не важна.
Половина цепочки: вес, горизонтальное натяжение внизу и наклонное
в подвесе.
Половина цепочки. Её масса \(m/2\). В нижней точке цепочка
горизонтальна, поэтому натяжение там горизонтально и равно \(T\). В точке
подвеса натяжение \(T'\) направлено вдоль цепочки, то есть под углом \(\alpha\)
к горизонтали.
\[ T' = \frac{mg}{2\sin\alpha},\qquad
T = T'\cos\alpha = \frac{mg}{2\operatorname{tg}\alpha}. \]
Проверка. При \(\alpha\to0\) (цепочку натягивают почти
горизонтально) оба натяжения растут неограниченно ✓ — идеально прямой висящей
цепочки не бывает. При \(\alpha = 90^\circ\) получаем \(T = 0\) и
\(T' = mg/2\) ✓ — цепочка висит вертикально двумя ветвями, каждая держит
половину веса. Горизонтальное натяжение \(T\) одинаково по всей цепочке ✓ (по
горизонтали на любой её кусок не действует ничего, кроме натяжений) — это
полезный факт: провисающий провод везде имеет одну и ту же горизонтальную
составляющую натяжения.
Ответ
\( T = \dfrac{mg}{2\operatorname{tg}\alpha} \) (внизу),
\( T' = \dfrac{mg}{2\sin\alpha} \) (в подвесе).