Задача 2.8.8груз на середине пружины
Условие
Если к нижнему концу вертикально висящей пружины прикрепить груз, то её длина станет равной \(l_1\). Если этот же груз прикрепить к середине пружины, то её длина станет равной \(l_2\). Найдите длину недеформированной пружины.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Половина пружины вдвое жёстче целой. Поэтому, повесив груз на середину, мы
растягиваем только верхнюю половину — и растягиваем её вдвое меньше, чем
растянулась бы вся пружина.
Пусть \(l_0\) — недеформированная длина, \(k\) — жёсткость.
Груз на конце. Растягивается вся пружина:
\[ l_1 = l_0 + \frac{mg}{k}. \]Груз на середине. Нижняя половина висит свободно и не деформируется — её длина остаётся \(l_0/2\). Верхняя половина имеет жёсткость \(2k\) и растягивается на \(mg/(2k)\):
\[ l_2 = \left(\frac{l_0}{2} + \frac{mg}{2k}\right) + \frac{l_0}{2} = l_0 + \frac{mg}{2k}. \]Исключаем \(mg/k\). Из первого \(mg/k = l_1 - l_0\), из второго \(mg/k = 2(l_2-l_0)\), значит
\[ l_1 - l_0 = 2l_2 - 2l_0 \quad\Longrightarrow\quad l_0 = 2l_2 - l_1. \]Проверка. Обязательно \(l_2 < l_1\) ✓ — на середине
груз растягивает пружину меньше; тогда \(l_0 = 2l_2-l_1 < l_2\) ✓, что и должно
быть. Если груз ничего не растягивает \((l_1 = l_2 = l_0)\), формула даёт
\(l_0 = l_0\) ✓. Пример: \(l_1 = 30\) см, \(l_2 = 25\) см дают \(l_0 = 20\) см,
и правда: полное растяжение 10 см, половинное 5 см ✓.
Ответ
\( l_0 = 2l_2 - l_1 \).