На сколько переместится конец нити (точка \(A\)), перекинутой через подвижный
блок, если к нему приложить силу \(F\)? Жёсткость пружин равна \(k\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Считаем по кусочкам: сначала находим все натяжения, потом растяжения обеих
пружин, а потом складываем вклады в перемещение точки \(A\). Главная тонкость —
опускание блока на \(d\) требует вытравить \(2d\) нити.
Верхняя пружина держит блок, нижняя — левый конец нити.
Натяжения. Нить одна и невесома, блок идеальный — значит натяжение по
всей нити равно \(F\). На ось блока действуют вниз обе ветви, то есть верхняя
пружина растянута силой
— Блок опустился на \(2F/k\). Обе ветви нити при этом удлиняются на столько
же каждая, то есть точке \(A\) достаётся опуститься на
\(2\cdot\dfrac{2F}{k} = \dfrac{4F}{k}\).
— Левый конец нити опустился вместе с концом нижней пружины на \(F/k\), и эта
нить «освободилась» — точка \(A\) опускается ещё на \(F/k\).
\[ x = \frac{4F}{k} + \frac{F}{k} = \frac{5F}{k}. \]
Проверка энергией. Работа силы: \(A = Fx = 5F^2/k\)
(сила нарастает от нуля, поэтому берём \(\frac12 F x\); аккуратно:
\(A = \frac12 F\cdot\frac{5F}{k} = \frac{5F^2}{2k}\)). Энергия пружин:
\(\dfrac{(2F)^2}{2k} + \dfrac{F^2}{2k} = \dfrac{4F^2+F^2}{2k}
= \dfrac{5F^2}{2k}\) ✓ — совпало в точности. Это и подтверждает коэффициент 5.
Если убрать нижнюю пружину (закрепить конец жёстко), осталось бы \(4F/k\) ✓;
если убрать верхнюю — \(F/k\) ✓.