В гладкой закреплённой полусфере свободно лежит палочка массы \(m\) так, что угол её с горизонтом равен \(\alpha\), а конец выходит за край полусферы. С какими силами действует палочка на полусферу в точках соприкосновения \(A\) и \(B\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Точки \(A\) и \(B\) лежат на сфере, значит \(OA = OB = R\) и треугольник \(OAB\) равнобедренный. Хорда \(AB\) наклонена к горизонту на \(\alpha\), а \(OB\) горизонтален (\(B\) на краю чаши), поэтому углы при основании равны \(\alpha\), а угол \(\angle AOB = 180^\circ - 2\alpha\). Отсюда радиус \(OA\) отклонён от вертикали так, что реакция \(N_A\) направлена под углом \(2\alpha\) к вертикали.
Проекции. Реакция \(N_A\) направлена от \(A\) к центру, то есть по направлению \((\sin 2\alpha,\ \cos 2\alpha)\); реакция \(N_B\) перпендикулярна палочке, то есть по направлению \((-\sin\alpha,\ \cos\alpha)\):
\[ \text{горизонталь: } N_A\cos 2\alpha = N_B\sin\alpha, \](здесь удобно отсчитывать \(N_A\) от горизонтали — угол \(2\alpha\) с вертикалью означает угол \(90^\circ-2\alpha\) с горизонталью);
\[ \text{вертикаль: } N_A\sin 2\alpha + N_B\cos\alpha = mg. \]Решаем. Из первого \(N_B = N_A\cos2\alpha/\sin\alpha\), подставляем:
\[ N_A\,\frac{\sin2\alpha\sin\alpha + \cos2\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = mg. \]В числителе \(\cos(2\alpha-\alpha) = \cos\alpha\), поэтому
\[ N_A\,\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = mg \quad\Longrightarrow\quad N_A = mg\operatorname{tg}\alpha,\qquad N_B = \frac{mg\cos2\alpha}{\cos\alpha}. \]