Валки прокатного стана имеют радиус \(R\). Вращаясь, они втягивают заготовку, если её толщина достаточно мала. Коэффициент трения между валками и заготовкой \(\mu\), а зазор между валками \(d_0\). Найдите максимальную толщину заготовки. Заготовку не подталкивают.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Угол захвата. Пусть \(\theta\) — угол между линией центров валков и радиусом, проведённым в точку касания. Тогда:
— нормальная сила \(N\) направлена по радиусу; её составляющая вдоль движения (назад, выталкивающая) равна \(N\sin\theta\);
— сила трения \(\mu N\) направлена по касательной; её составляющая вдоль движения (вперёд, втягивающая) равна \(\mu N\cos\theta\).
Заготовка втянется, если
\[ \mu N\cos\theta \ge N\sin\theta \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{tg}\theta \le \mu. \]От угла к толщине. Половина толщины в точке касания складывается из половины зазора и «подъёма» валка:
\[ \frac d2 = \frac{d_0}{2} + R\,(1-\cos\theta) \quad\Longrightarrow\quad d = d_0 + 2R(1-\cos\theta). \]Предельный случай \(\operatorname{tg}\theta = \mu\) даёт \(\cos\theta = 1/\sqrt{1+\mu^2}\), поэтому
\[ d_{\max} = d_0 + 2R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\right). \]