Тело с установленными в его вырезах клиньями расположено между двумя параллельными стенками. Найдите предельный угол при вершине клиньев, при котором тело может двигаться вправо и не может двигаться влево. Коэффициенты трения клиньев о стенки и о тело равны \(\mu_1\) и \(\mu_2\) соответственно.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Как движется клин. Верхняя грань клина прижата к неподвижной стенке, нижняя — к наклонной грани выреза. Чтобы оставаться в контакте с обеими, клин вынужден двигаться вместе с телом, скользя вдоль стенки.
Клин — тело с двумя силами. Он невесом, на него действуют только полная реакция стенки \(\vec R_1\) и полная реакция тела \(\vec R_2\). Они должны быть равны и противоположны, то есть лежать на одной прямой.
Куда отклонены реакции. Клин скользит по стенке, значит \(\vec R_1\) отклонена от нормали к стенке на угол трения \(\varphi_1 = \operatorname{arctg}\mu_1\) — против движения. Нормаль к грани выреза наклонена к нормали стенки на угол \(\alpha\) (угол при вершине клина). Чтобы \(\vec R_2\) была продолжением \(\vec R_1\), она должна отклоняться от своей нормали на угол
\[ |\varphi_1 - \alpha|\ \ \text{при движении вправо},\qquad \varphi_1 + \alpha\ \ \text{при движении влево}. \]А отклониться реакция может не более чем на \(\varphi_2 = \operatorname{arctg}\mu_2\).
Условия.
— Вправо двигаться можно, если \(|\varphi_1-\alpha| \le \varphi_2\), то есть при \(\alpha \ge \varphi_1 - \varphi_2\).
— Влево двигаться нельзя, если \(\varphi_1 + \alpha > \varphi_2\), что при \(\varphi_1 > \varphi_2\) выполняется всегда.
Предельный угол, значит,
\[ \alpha = \varphi_1 - \varphi_2,\qquad \operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}(\varphi_1-\varphi_2) = \frac{\mu_1-\mu_2}{1+\mu_1\mu_2}. \]