Между одинаковыми брусками квадратного сечения, лежащими на горизонтальной
плоскости, вставлен гладкий клин такой же массы с сечением в виде равностороннего
треугольника. При каком коэффициенте трения брусков о плоскость они начнут
разъезжаться?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Клин гладкий, поэтому он давит на бруски строго по нормали к своим граням.
Грани равностороннего треугольника наклонены на \(60^\circ\), и такая сила не
только раздвигает бруски, но и прижимает их к полу — это важно, ведь
вместе с прижатием растёт и трение.
Нормаль к грани клина наклонена к горизонту на \(30^\circ\).
Клин. Его грани составляют \(60^\circ\) с горизонтом, значит нормали к
ним составляют \(30^\circ\) с горизонтом. Каждый брусок толкает клин силой
\(N\) вверх-внутрь, вертикальная проекция \(N\sin30^\circ = N/2\):
\[ 2\cdot\frac N2 = mg \quad\Longrightarrow\quad N = mg. \]
Брусок. Клин давит на него с той же силой \(N = mg\), направленной
наружу и вниз: горизонтальная составляющая \(N\cos30^\circ = mg\sqrt3/2\),
вертикальная \(N\sin30^\circ = mg/2\).
Проверка. Массы сократились ✓ — как обычно в задачах,
где всё определяется трением. Обратите внимание на роль прижатия: без вклада
\(mg/2\) условие было бы \(\mu\ge\sqrt3/2 \approx 0{,}87\), то есть заметно
строже ✓ — клин сам себе помогает удержаться. Угол \(60^\circ\) здесь
существенен: у более острого клина горизонтальная составляющая меньше, и он
удержится при меньшем трении ✓. Значение \(1/\sqrt3\) соответствует углу трения
\(30^\circ\) ✓ — ровно наклону нормали к горизонту, что и есть общее правило
«сила должна лежать внутри конуса трения».
Ответ
Бруски разъедутся при \( \mu < \dfrac{1}{\sqrt3} \approx 0{,}58 \).