Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.8. Статика

Савченко, задача 2.8.16

Задача 2.8.16★ n витков каната

Условие

На цилиндрический столб намотан один виток каната. Чтобы канат не скользил по столбу, когда его за один из концов тянут с силой \(F\), другой конец каната достаточно удерживать с силой \(f\). Как изменится удерживающая сила, если на столб намотано \(n\) витков? Витки каната не соприкасаются друг с другом.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Каждый виток устроен одинаково и «не знает», что происходит до и после него. Значит каждый виток уменьшает натяжение в одно и то же число раз, а не на одну и ту же величину — отсюда степень, а не произведение.

Один виток. По условию он превращает натяжение \(F\) в \(f\), то есть умножает его на

\[ q = \frac fF < 1. \]

Почему коэффициент один и тот же. Возьмём два витка. Первый виток видит на входе \(F\); на его выходе натяжение \(qF\). Для второго витка условия в точности те же — тот же угол обхвата, тот же коэффициент трения, — меняется лишь масштаб сил. А трение пропорционально нормальному давлению, которое, в свою очередь, пропорционально натяжению. Значит второй виток тоже умножит натяжение на \(q\).

\(n\) витков.

\[ f_n = F\,q^{\,n} = F\left(\frac fF\right)^{\!n}. \]

Проверка. При \(n=1\) получаем \(f\) ✓. Рост очень быстрый: если один виток даёт \(f/F = 1/3\), то три витка — уже \(1/27\), а четыре — \(1/81\) ✓. Именно поэтому швартовный канат удерживают на кнехте несколькими витками, а альпинист страхует напарника через карабин: сила руки в десятки раз меньше нагрузки. Формулу удобно переписать как \(\ln f_n = \ln F + n\ln q\) — натяжение падает по геометрической прогрессии ✓, что мы уточним в следующей задаче.

Ответ \( f_n = F\left(\dfrac fF\right)^{n} \).

Следующая задача 2.8.17 →