За один конец верёвки, охватывающей столб по дуге с углом \(\theta\), тянут с силой \(F_0\). Какую минимальную силу нужно приложить к другому концу верёвки, чтобы её удержать, если коэффициент трения верёвки о столб равен \(\mu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Маленький кусочек дуги. Пусть на кусочек приходится угол \(\Delta\varphi\), а натяжение на его краях \(T\) и \(T-\Delta T\). Две силы натяжения, сходящиеся под углом \(\Delta\varphi\), прижимают верёвку к столбу с силой
\[ \Delta N \approx T\,\Delta\varphi \](это длина основания равнобедренного треугольника со сторонами \(T\) и малым углом при вершине). Максимальное трение на этом кусочке
\[ \Delta T = \mu\,\Delta N = \mu\,T\,\Delta\varphi. \]Множитель. Значит каждый кусочек уменьшает натяжение в
\[ \frac{T-\Delta T}{T} = 1 - \mu\,\Delta\varphi \]раз. Разбив всю дугу на \(N\) кусочков с \(\Delta\varphi = \theta/N\), получаем
\[ F = F_0\left(1 - \frac{\mu\theta}{N}\right)^{\!N} \;\xrightarrow[\ N\to\infty\ ]{}\; F_0\,e^{-\mu\theta}. \]Это знаменитая формула Эйлера для трения гибкой нити о цилиндр.