Линейка массы \(0{,}01\) кг лежит на двух опорах: от левого конца до первой
опоры \(0{,}1\) м, между опорами \(0{,}4\) м, от второй опоры до правого конца
\(0{,}2\) м. На правый конец линейки положен груз. Какова масса груза, при
которой возможно равновесие?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Линейка опрокинется через правую опору, если момент груза пересилит момент веса
самой линейки. Предельный случай — когда левая опора перестаёт давить, то есть
её реакция обращается в нуль.
Линейка длины 0,7 м; её центр — в 0,15 м левее правой опоры.
Где что находится. Длина линейки \(0{,}1+0{,}4+0{,}2 = 0{,}7\) м, её
центр — на \(0{,}35\) м от левого конца. Правая опора стоит на \(0{,}5\) м от
левого конца, значит центр линейки отстоит от неё на
\[ 0{,}5 - 0{,}35 = 0{,}15\ \text{м (влево)}, \]
а груз — на \(0{,}7-0{,}5 = 0{,}2\) м вправо.
Условие неопрокидывания (моменты относительно правой опоры):
\[ M g\cdot 0{,}15 \ge m g\cdot 0{,}2
\quad\Longrightarrow\quad
m \le M\,\frac{0{,}15}{0{,}2} = 0{,}75\,M. \]
Проверка. Левая опора при этом «работает на удержание»:
её реакция \(N_1 = (Mg\cdot0{,}15 - mg\cdot0{,}2)/0{,}4\), и она обращается в
нуль ровно при \(m = 7{,}5\) г ✓ — дальше линейка просто опрокинется. Заметим,
что расстояние \(0{,}4\) м между опорами в ответ не вошло ✓: оно влияет лишь на
величину реакций, но не на условие опрокидывания.