Задача 2.8.20неравноплечие весы
Условие
Неравноплечие весы находятся в равновесии. Если на левую их чашку положить груз, то он уравновешивается гирей массы \(m_1\) на правой чашке. Если этот же груз положить на правую чашку весов, то он уравновешивается гирей массы \(m_2\) на левой чашке. Какова масса груза?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Два взвешивания дают два уравнения моментов с одним и тем же отношением плеч.
Перемножив их, отношение плеч убираем — остаётся чистая масса. Это классический
приём Гаусса.
Пусть плечи \(a\) (левое) и \(b\) (правое), масса груза \(m\).
Первое взвешивание (груз слева):
\[ m\,a = m_1\,b. \]Второе (груз справа):
\[ m_2\,a = m\,b. \]Убираем плечи. Из первого уравнения \(a/b = m_1/m\), из второго \(a/b = m/m_2\). Отношение плеч одно и то же, поэтому
\[ \frac{m_1}{m} = \frac{m}{m_2} \quad\Longrightarrow\quad m^2 = m_1m_2,\qquad m = \sqrt{m_1m_2}. \]Масса груза оказалась средним геометрическим двух показаний.
Проверка. Если весы правильные \((a=b)\), то
\(m_1 = m_2 = m\) ✓. Среднее геометрическое всегда не больше среднего
арифметического, поэтому наивный ответ \((m_1+m_2)/2\) слегка завышает массу ✓ —
но при малой асимметрии разница ничтожна: при \(m_1 = 99\), \(m_2 = 101\) г
точный ответ \(99{,}99\) г против \(100\) г. Заодно из \(m_2a^2 = m_1b^2\)
находится и отношение плеч: \(b/a = \sqrt{m_2/m_1}\) ✓.
Ответ
\( m = \sqrt{m_1m_2} \).