Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.8. Статика

Савченко, задача 2.8.21

Задача 2.8.21чувствительность весов

Условие

Центр масс коромысла равноплечих весов находится ниже точки подвеса на расстоянии \(h\) от неё, а масса коромысла равна \(m_0\). На концах коромысла, расстояние между которыми равно \(2L\), на нитях подвешены одинаковые чашки. На сколько отличаются массы грузов, положенных на чашки, если коромысло отклонилось от горизонтали на угол \(\alpha\)?

К задаче 2.8.21 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Разность весов создаёт момент, который стремится наклонить коромысло, а собственный вес коромысла — возвращающий момент, ведь его центр масс висит ниже оси. Равновесие наступает, когда они сравняются.

Момент разности грузов. Чашки висят на нитях, поэтому их веса вертикальны и приложены к концам коромысла. При наклоне на \(\alpha\) горизонтальное плечо каждого конца равно \(L\cos\alpha\), поэтому «лишний» вес \(\Delta m\,g\) создаёт момент

\[ M_1 = \Delta m\,g\,L\cos\alpha. \]

Возвращающий момент коромысла. Его центр масс отстоит от оси на \(h\) вниз; при наклоне он сместился по горизонтали на \(h\sin\alpha\), значит

\[ M_2 = m_0\,g\,h\sin\alpha. \]

Равновесие.

\[ \Delta m\,g\,L\cos\alpha = m_0\,g\,h\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad \Delta m = \frac{h}{L}\,m_0\operatorname{tg}\alpha. \]

Проверка. Чувствительность весов — это угол на единицу разности масс: \(\operatorname{tg}\alpha = \Delta m\,L/(m_0h)\). Она тем выше, чем длиннее коромысло, чем оно легче и чем ближе его центр масс к оси ✓ — три правила, которым и следуют при изготовлении аналитических весов. При \(h\to0\) чувствительность формально бесконечна, но равновесие становится безразличным ✓ — стрелка перестаёт возвращаться, поэтому \(h\) делают маленьким, но не нулевым. Проверим предел \(\alpha\to0\): \(\Delta m \to 0\) ✓.

Ответ \( \Delta m = \dfrac hL\,m_0\operatorname{tg}\alpha \).

Следующая задача 2.8.22 →