Ось коромысла равноплечих весов, имеющая радиус \(r\), вставлена в прорезь
стойки. При гире массы \(m\) на одной чашке и грузе на другой коромысло остаётся
в горизонтальном положении. Масса коромысла вместе с чашками равна \(M\), а
длина коромысла \(2L\). На сколько может отличаться масса груза от массы гири,
если коэффициент трения между осью и стойкой равен \(\mu\)?
К задаче 2.8.22 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Ось не идеальна: трение в ней создаёт момент \(\mu N r\), где \(N\) — полная
нагрузка на ось. Пока момент разности грузов не превысит его, весы «не замечают»
разницы — это и есть их порог чувствительности.
Нагрузка на ось. Ось держит всё: коромысло с чашками \(M\), гирю \(m\)
и груз \(m \pm \Delta m\):
\[ N = \left(M + 2m \pm \Delta m\right)g. \]
Условие «весы не шелохнутся». Момент разности не превосходит
предельного момента трения:
Проверка. При \(\mu = 0\) или \(r = 0\) обе величины
равны нулю ✓ — идеальные весы различают сколь угодно малую разницу. Порог тем
меньше, чем тоньше ось и длиннее коромысло ✓ — потому в точных весах ось делают
в виде тонкой призмы на агатовой опоре, где «радиус» микроскопичен. Заметим
несимметрию: \(\Delta m_+ > \Delta m_-\) ✓ — лишний груз сам увеличивает
нагрузку на ось и тем самым трение, помогая себя скрыть. Оценка: при
\(\mu = 0{,}1\), \(r = 1\) мм, \(L = 10\) см и \(M+2m = 200\) г порог около
\(0{,}2\) г ✓.
Ответ
\( \Delta m_\pm = \dfrac{\mu\,(M+2m)\,r}{L\mp\mu r} \).