Тяжёлый стержень согнут посередине под прямым углом и подвешен свободно за
один из концов. Какой угол с вертикалью образует верхняя половина стержня?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Тело, подвешенное свободно, поворачивается так, чтобы его центр масс оказался
точно под точкой подвеса. Осталось найти центр масс уголка — он лежит
посередине между центрами двух половинок.
Центр масс уголка обязан оказаться на вертикали, проходящей через
точку подвеса.
Где центры половинок. Пусть длина каждой половинки \(a\), угол верхней
половины с вертикалью \(\alpha\). Возьмём точку подвеса за начало отсчёта; ось
\(x\) — горизонтальна.
Центр верхней половинки удалён от подвеса на \(a/2\) вдоль неё, его
горизонтальная координата
\[ x_1 = \frac a2\sin\alpha. \]
Нижняя половинка начинается в точке сгиба (координата \(a\sin\alpha\)) и идёт
перпендикулярно верхней — в горизонтальной проекции это даёт смещение
\(-\frac a2\cos\alpha\) (перпендикуляр «заваливается» в другую сторону):
\[ x_2 = a\sin\alpha - \frac a2\cos\alpha. \]
Условие равновесия — центр масс под подвесом, то есть
\(x_1 + x_2 = 0\):
Проверка. Угол небольшой — верхняя половина висит
почти вертикально, а нижняя почти горизонтальна ✓, что и подсказывает интуиция:
основную часть «перевеса» создаёт именно нижнее колено. Проверим прямым счётом:
при \(\sin\alpha = 1/\sqrt{10}\), \(\cos\alpha = 3/\sqrt{10}\) получаем
\(x_1 = a/(2\sqrt{10})\) и \(x_2 = a/\sqrt{10} - 3a/(2\sqrt{10}) =
-a/(2\sqrt{10})\) ✓ — в сумме нуль. Ответ не зависит ни от массы, ни от длины
стержня ✓.
Ответ
\( \alpha = \operatorname{arctg}\dfrac13 \approx 18{,}4^\circ \).