К системе из одинаковых стержней, соединённых шарнирами, подвешен груз массы \(m\) (ферма из равносторонних треугольников закреплена на стенке, груз висит на крайнем правом верхнем узле). Определите силу, растягивающую \(n\)-й верхний горизонтальный стержень.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Все стержни одинаковы, пусть их длина \(a\). Треугольники равносторонние, значит высота фермы
\[ h = \frac{a\sqrt3}{2}. \]Верхние узлы стоят через \(a\), нижние — тоже через \(a\), но сдвинуты на \(a/2\).
Сечение. Разрежем ферму так, чтобы разрез прошёл через \(n\)-й верхний стержень (считая от груза), через диагональ и через нижний стержень. Диагональ и нижний стержень сходятся в нижнем узле, который отстоит от точки подвеса груза по горизонтали на
\[ d_n = \frac{(2n-1)\,a}{2} \](груз висит на крайнем верхнем узле, а нижние узлы сдвинуты на полшага, отсюда и нечётное число полушагов).
Моменты относительно этого узла. Слева от него на отрезанную часть действуют только вес груза и силы в разрезанных стержнях; моменты диагонали и нижнего стержня равны нулю, потому что они проходят через сам узел. Верхний стержень горизонтален и отстоит от узла на \(h\):
\[ T_n\,h = mg\,d_n \quad\Longrightarrow\quad T_n = \frac{mg\,(2n-1)a/2}{a\sqrt3/2} = \frac{(2n-1)\,mg}{\sqrt3}. \]